194-音律的計(jì)算方法

音律的計(jì)算方法有利于演奏、演唱技能的發(fā)揮。尤其是從事音樂研究而又不擅長(zhǎng)音律計(jì)算的人，若能掌握音律計(jì)算方法，于研究無疑是大有俾益的。 （一）絕對(duì)音高與頻率的換算 絕對(duì)音高有兩種表示方法，一種是音分表示法，另一種是音名表示法。在考古研究中，已如前文所述，音名是不用音樂上通用的大字組、小字組之區(qū)別的，而是僅用大字的0、1、2、3……來表示。起始音是C0，它乃是0音分，一組為1200音分。例如，A4便是5700音分。這是因?yàn)镃0－C4為4800音分，C4－A4為900音分，二者之和也就是5700音分了。再如bB5-34便是6966音分。這是因?yàn)镃0－C5的音程為6000音分，而C5－bB5為1000音分，計(jì)7000音分，減去34音分，，也就是6966音分了。 附帶說一句，若將考古上的音高換算成音樂上的音名表示法也是不難的。這兒只要記住兩個(gè)關(guān)鍵性的音就行了。一個(gè)是考古學(xué)上的C0就是音樂上的C2（大字二組），另一個(gè)是考古學(xué)上的C4，就是音樂上的c1（小字一組），因此，考古學(xué)上的A4，就是音樂上的a1（小字一組）。此外，6966音分就是bb2 -34。 關(guān)于音分及音名同頻率的換算就比較麻煩了。例如6966音分，或bB5-34，它的頻率該是多少Hz（赫茲）？要進(jìn)行計(jì)算，首先要記住兩個(gè)資料：一個(gè)是考古學(xué)上的C0，也就是音樂學(xué)上的C2（大字二組）的頻率16.3515978313Hz，取約值16.35Hz；此頻率的對(duì)數(shù)便是1.21356019708。另一個(gè)資料便是比例常數(shù)3986.31371386，此資料乃是1200/lg2。因?yàn)橐粋€(gè)八度為1200音分，其頻率比為2的緣故。如果我們要求出6966音分的頻率，可通過以下計(jì)算求得： 6966?3986.314+1.21356 = 2.961，然后查反對(duì)數(shù)，得914.20（Hz）。這914.20Hz就是6966音分的頻率。 相反，若知道頻率，完全可以運(yùn)用上述公式的逆運(yùn)算求得它的音分。例如，已測(cè)得考古發(fā)掘出的某磬片的頻率為586.86Hz，求此音的音分及音名。 解：? 先求出586.86Hz的對(duì)數(shù)與16.35Hz的對(duì)數(shù)之差。 lg586.86－lg16.35 = 2.7685345029－1.213560197 = 1.554974312 ? 將1.55497431253986.31371386 = 6196.62。取出近似值6197音分。 由于C4為6000音分，D4為6200音分，故而6197音分為D4-3。 （二）弦上的音位計(jì)算 在弦上進(jìn)行音位計(jì)算，其主要目的雖然是為著律學(xué)的研究，但是它同樣有著實(shí)際的用途。最早將弦用于律學(xué)計(jì)算的是西漢末年的京房（前77－前37）。他為了研究60律而設(shè)計(jì)了弦準(zhǔn)。對(duì)于律學(xué)研究來說，若要區(qū)別三分損益律、純律、十二平均律三種律制之間的差別，除了借助弦而外，是沒有任何一種樂器是能負(fù)起此任的。諸君若于此有興趣，筆者于下方列出這三種律制各音在弦上的百分比。 在列出這三種律制音階各音在弦上的百分比之前，有4點(diǎn)說明。 1、三分損益律的傳統(tǒng)七聲音階，只有變征（#4）而不用清角（4），純律只有清角而沒有變征。為了統(tǒng)一起見，此處根據(jù)如今的音樂實(shí)際，也改用清角。 2、純律，實(shí)際上乃是在三分損益律的基礎(chǔ)上增添了4:3的純四度、5:4的純律大三度和6:5的純律小三度。筆者至今也未曾見到有人介紹純律的十二律。因此，本文也只能介紹這三種律制的七聲音階在弦上的百分比。 3、三分損益律的首律是黃鐘，如今人們通常以C（c1）為首音，更有不少人愛把黃鐘正律說成C。實(shí)際上我們無法證明古代的黃鐘就是C，但卻可以把黃鐘比擬作C。 4、在同一根弦上進(jìn)行三種律制的音程比較時(shí)，弦的下端為起點(diǎn)0，上端為止點(diǎn)，即全弦長(zhǎng)1。 現(xiàn)將三種律制各音在弦上的比例列表于下： 階名 1 2 3 4 5 6 7 1 三分損益 1.0000 0.8888 0.7901 0.7400 0.6667 0.5926 0.5267 0.5000 純律 1.0000 0.8888 0.8000 0.7500 0.6667 0.6000 0.5333 0.5000 十二平均律 1.0000 0.8909 0.7937 0.7492 0.6674 0.5946 0.5297 0.5000 至于弦上的音分計(jì)算當(dāng)然并不僅僅是為著三種律制的比較。本世紀(jì)四十年代，我國音樂大家楊蔭瀏先生在進(jìn)行音律研究時(shí)，就是借助了弦準(zhǔn)，即在弦上確定一標(biāo)準(zhǔn)音，然后確定所測(cè)之音在弦上的按弦點(diǎn)，通過按弦點(diǎn)同弦上的基準(zhǔn)點(diǎn)的比例，算出所測(cè)之音的音高或音程。例如一根長(zhǎng)58公分的弦，音高（空弦音）為d1（293.66Hz），現(xiàn)測(cè)得某音與弦上47.65公分處所發(fā)之音等高，算出所測(cè)之音的高度（頻率）。 解：由于頻率同弦長(zhǎng)成反比，所以所測(cè)之音同空弦音的音程，即為這兩段弦長(zhǎng)的對(duì)數(shù)差與音分計(jì)算比例常數(shù)之積。列式如下： （lg58－lg47.65）′ 3986.314 = 0.08537 ′ 3986.314 = 340.31（音分）。 由于d1比c1高大二度，故而d1為5000音分，今再加340.31音分，故而為5340.31音分，其音高為F4+40。運(yùn)用前面述及的音分同頻率換算的方法，可列出以下算式： 5340.31? 3986.314 + 1.2136 = 2.5533 查2.5533的反對(duì)數(shù)為357.52，由此可知，該音的音高為357.52（Hz）。 關(guān)于弦上的頻率及音位計(jì)算，只能計(jì)算其相對(duì)音高，不能計(jì)算其絕對(duì)音高。弦的絕對(duì)音高的確定必須憑藉其他能確定絕對(duì)音高的樂器。正因?yàn)檫@個(gè)緣故，漢代的京房既明確指出“竹聲不可以度調(diào)”，而在涉及弦準(zhǔn)的絕對(duì)音高時(shí)又不得不牽涉到律管，晉代的楊泉也認(rèn)定“以管定音，以弦定律”。 何不能確定絕對(duì)音高呢？這從弦的頻率公式的分析中就可以獲得證明。弦的頻率公式是： 從弦的頻率公式可知：雖然弦的頻率（F）與弦長(zhǎng)（L）成反比，同弦的張力（T）的平方根成正比，同弦的質(zhì)量（m）的平方根成正比。作為弦樂器上的弦，盡管弦成可以測(cè)量，但是其張力與質(zhì)量都是無法準(zhǔn)確測(cè)定的，因此頻率（F）也就無法確定。 （三）從頻率計(jì)算音分 從頻率計(jì)算音分是比較簡(jiǎn)單的。它與弦上的音位計(jì)算正好為逆運(yùn)算。若兩個(gè)頻率分別為1362.76Hz與1485.95Hz，求這兩個(gè)頻率之間的音程?？闪谐鲆韵滤闶剑?（lg1485.95lg－1362.76）′ 3986.314 = （3.172 －3.134）′ 3986.314 = 0.038′3986.314=151.48（音分）。 （四）關(guān)于板樂器及管樂器的頻率 音律既然是樂器的重要屬性，那么除了弦樂器而外，還有打擊樂器和管樂器。打擊樂器如鐘磬，屬于板振動(dòng)。板振動(dòng)的固有頻率的計(jì)算，乃是憑藉的經(jīng)驗(yàn)公式，因此除了可以對(duì)它測(cè)出的頻率進(jìn)行計(jì)算而外，目前還無法對(duì)它本身的固有頻率進(jìn)行計(jì)算。 作為板振動(dòng)的鐘磬，尤其是特殊的板振動(dòng)的樂器－－鐘，據(jù)說西周就有所謂“立均出度”的“均鐘木”。盡管東周出土的鐘磬有校音的痕跡，但是所校音高的范圍不大。由此可見，自西周始，用這“均鐘木”來鑄造具有絕對(duì)音高的鐘磬是完全可信的。但是這“均鐘木”究竟是如何“立均出度”的，如今已成了難解之謎。 至于管樂器，常常見到人們述及它們的頻率公式或音程公式，看起來管樂器的固有頻率似乎是完全可以計(jì)算的。實(shí)際上管樂器除了可以對(duì)它們所奏出的音高進(jìn)行計(jì)算而外，作為樂器的固有頻率（頻率公式）或音程公式，目前還無法進(jìn)行計(jì)算。以下略述其原因。 首先就管樂器的基頻公式來說，其頻率應(yīng)該同聲波速度成正比，同氣柱的長(zhǎng)度成反比。這看上去似乎很簡(jiǎn)單，但是其真實(shí)情況卻不是這么簡(jiǎn)單。原來管樂器不僅有開管樂器和閉管樂器，筆者還發(fā)現(xiàn)另有開管與閉管的結(jié)合型的管樂器。就開管與閉管來說，以邊棱音為激振源的笛類樂器，與簧哨樂器的情形又明顯不同。例如笛類樂器中的簫笛，其兩端與外界大氣相接，因此兩端都有管口校正量，作為閉管的我國古代律管和排簫，只有一端與外界大氣相接，因此只有一個(gè)管口校正量。而就簧哨樂器來說，盡管其吹奏端已含于口中或與唇緊密相接，卻仍然有開管與閉管之分。例如中國的篳篥、管子與巴烏，外國的單簧管等都是閉管，中國的嗩吶，外國的雙簧管、大管、薩克斯管，以及各種號(hào)，都是開管。那么簧哨樂器中的開管樂器應(yīng)該有一個(gè)還是兩個(gè)管口校正量？這恐怕是我們的物理學(xué)家們還沒有認(rèn)真考慮過的問題吧？ 再就最簡(jiǎn)單的笛類樂器來說，律管和排簫的情形應(yīng)該是一樣的，二者之間的管端校正量（因?yàn)槭情]管，應(yīng)該只有一個(gè)管端校正量）是否應(yīng)該相同？再就簫笛來說，其聲學(xué)情形更是完全相同的?？墒撬兄谱骱嵉训娜硕贾溃_定笛子音孔位置的公式絕對(duì)不適宜于確定洞簫的音孔位置。這是什么道理？原來簫和笛的音調(diào)不同而導(dǎo)致管長(zhǎng)不同，即使管口校正量相同，其音孔位置的比例也必然不同；實(shí)際上簫和笛的管口校正量也確實(shí)不同，所以確定音孔位置的方法也就必然不同。 欲求管樂器的計(jì)算頻率（不是實(shí)測(cè)），必須求得頻率計(jì)算公式；欲求管樂器的頻率計(jì)算公式，必須求得管樂器的管口校正量和管樂器中振動(dòng)著的氣柱的聲波速度。可是別說各種管樂器的管口校正量各不相同，就是管樂器中的聲波速度如今也多是借用了大氣中的速度，這顯然是未必切合實(shí)際的。 基于以上分析，可知有關(guān)音律計(jì)算方面的問題，無論是弦律還是管律，都有許多有待深入研究的內(nèi)問題。